Hace unos años, escribí un artículo para una revista infantil sobre geometrías no euclidianas. El propósito del artículo era hacer que los jóvenes se entusiasmaran con las matemáticas y mostrarles que hay más en eso que solo lo que aprenden en la escuela. Puede leerlo en Geometrías no euclidianas, o más abajo (con formato incorrecto):
Introducción
La ciencia busca descubrir cómo funciona el Universo y trata de descubrir las leyes que lo gobiernan. Las matemáticas no tienen tales obligaciones. Aunque los matemáticos y sus teorías generalmente se adhieren al Universo en el que vivimos, una vez en la luna azul surgirá un excéntrico, pero el matemático genio, que propondrá una teoría matemática radical, que aunque maravillosa, aparentemente no tiene aplicación, al menos no en este universo En este artículo, hablaremos sobre la geometría no euclidiana , que es, literalmente, Matemáticas fuera de este mundo.
¿Qué es la geometría?
Ya que todos hemos estudiado algo de geometría en la escuela, generalmente tenemos una idea intuitiva acerca de qué líneas, puntos, círculos y planos son. El antiguo matemático griego Euclid mostró que toda nuestra noción intuitiva sobre los objetos geométricos se puede resumir en un conjunto de cinco postulados. Si se asume que estos postulados son verdaderos, todo el resto de la geometría sigue. Por lo tanto, la próxima vez que tu maestro te diga que memorices algunas reglas sobre círculos o líneas paralelas, puedes negarte a hacerlo, diciendo que ya conoces los postulados de Euclid. (Descargo de responsabilidad: ¡¡El autor no es responsable de lo que tu profesor te haga después de esto !!). Los postulados de Euclides son los siguientes:
- Se puede dibujar una línea recta que conecta dos puntos dados.
- Un segmento de línea se puede extender en ambas direcciones para obtener una línea recta
- Se puede dibujar un círculo con un centro y un radio dados.
- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí
- Dada una línea y un punto que no está sobre ella, se puede dibujar exactamente una línea que pase por el punto dado y sea paralela a la línea dada.
Geometría no euclidiana
Como puedes ver, los postulados parecen simples y obviamente verdaderos. Sin embargo, los matemáticos no son criaturas simples y obvias. Algunos matemáticos maliciosos pensaron: “¿Qué pasa si asumimos que uno de estos postulados es falso ? ¿Qué sucede si asumimos que algo que es contrario a uno de estos postulados es verdadero? “Lo hicieron, y crearon diferentes tipos de geometrías, todas las cuales son inconsistentes con nuestra noción normal de Geometría , pero no obstante, son consistentes en sí mismas. . “Pero, ¿para qué sirve todo esto?”, Puedes preguntar: “Si estas geometrías no son reales y no funcionan en nuestro Universo, ¿por qué los matemáticos quieren estudiarlas?” Estas son preguntas muy válidas, pero los matemáticos son un grupo de personas locas, y con frecuencia hacen matemáticas solo por el bien de ellas, incluso si parece que no tienen ninguna utilidad en ningún lugar del mundo real.
Geometría eliptica
Una de las geometrías no euclidianas, que es relativamente fácil de entender, se llama Geometría Elíptica . En esta geometría, se modifica el quinto postulado en los postulados de Euclides.
- Dada una línea y un punto que no está sobre ella, no se puede dibujar una línea que pase a través del punto dado y sea paralela a la línea dada.
Para comprender esto, debe suspender sus nociones habituales sobre qué son un punto, una línea, etc. En nuestro nuevo universo, estas son cosas completamente diferentes de lo que generalmente pensamos de ellas. Por lo tanto, los redefiniremos en nuestro nuevo universo. Para evitar confusiones, escribiremos punto cuando deseamos referirnos a construcciones en el nuevo universo, y punto cuando deseamos referirnos a nuestra noción habitual. Imagina una esfera. Un plano se define como la superficie de esta esfera. Un punto se define como un par de puntos diametralmente opuestos en esta esfera. Una línea es un gran círculo en la esfera (Un gran círculo es un círculo, como el ecuador, cuyo plano contiene el centro de la esfera). Tenga en cuenta que dos líneas siempre se intersecan exactamente en dos puntos diametralmente opuestos, eso es exactamente un punto .
Observe que en esta geometría elíptica, los primeros cuatro postulados de Euclides siguen siendo válidos. (Mantenga este artículo y piense en los dos primeros postulados ahora . Le aseguro que lo encontrará como un ejercicio gratificante). Aunque no hemos definido formalmente los círculos y los ángulos debido a la falta de espacio, se puede demostrar que los postulados tercero y cuarto también son ciertos en la geometría elíptica. Tenga en cuenta también que el nuevo quinto postulado ahora es cierto en este sistema. Dada una línea y un punto fuera de ella, es imposible construir una línea paralela a la dada. Recuerde que una línea debe estar sobre el plano y como en este caso un plano es la superficie de la esfera, el plano de cualquier línea a través de un punto dado debe pasar a través del centro de la esfera y, por lo tanto, debe cruzar la línea dada en algún punto. punto (ver figura). ¡Esto hace imposible, en Geometría Elíptica, dibujar un par de líneas paralelas! Muchos otros datos interesantes y no intuitivos también emergen en este sistema. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados. Alucinante, pero cierto.
Conclusión
Vimos que incluso un tema simple como la geometría es un tema de estudio matemático profundo. La esencia de las matemáticas es cuestionar. Los matemáticos hacen preguntas como: “¿Qué es un número?” O “¿Qué es un punto?” Aunque parezcan tontos, encontrar las respuestas a estas preguntas implica mucho pensamiento y un viaje lleno de aventuras hacia la tierra oscura y misteriosa de las matemáticas.
