¿Qué piensan los matemáticos y los neurocientíficos acerca de los conceptos matemáticos: se sostienen solos o son construcciones mentales?

Answer 1

¿Pueden ser ambas cosas? 🙂

Algunas personas piensan que los conceptos matemáticos se sostienen por sí solos como formas abstractas independientes, y otros piensan que son construcciones humanas. Así que te daré mi opinión personal.

La mayor parte del tiempo estoy en el segundo grupo. Creo que todos los conceptos son construcciones mentales ante todo. Y desde una perspectiva práctica, es imposible saber si hay conceptos que son independientes de las mentes humanas, porque, para citar a Buckaroo Banzai, “no importa a dónde vayas, ahí estás”. Lo que quiero decir es que no es posible escapar de la mente humana, es decir, tu propia mente, para ver qué hay fuera de ella. Lo que sea que pienses sobre… ¡ahí estás !

Dicho esto, encuentro que la práctica de las matemáticas me tienta ocasionalmente hacia el platonismo, en particular la idea de que las formas abstractas idealizadas tienen una existencia independiente. Esto se debe a que en matemáticas no tienes total libertad para inventar lo que quieras. Puede inventar entidades matemáticas hasta cierto punto a través de la definición, pero una vez que haya definido una entidad, sus propiedades parecen estar gobernadas por reglas formales fuera de su control. Y otros matemáticos entrenados como usted lo harán tienden a estar de acuerdo con usted sobre esas propiedades si ha realizado correctamente la manipulación formal de las reglas. Esto puede ser lo más cercano a la objetividad que los humanos pueden esperar.

Las ideas abstractas, relacionales o relativas pueden ser las más objetivas, ya que a menudo podemos decir si se han comunicado correctamente. No puedo saber si mi percepción subjetiva del color rojo es la misma que la tuya. Pero puedo estar razonablemente seguro de que si le explico con precisión qué es un triángulo equilátero, entonces podrá construir uno que sea casi idéntico al idealizado en mi imaginación (sin contar el tamaño y la rotación). No necesariamente puedo comunicarte a ti lo que me gusta a los chiles, pero podría comunicarte la forma de una molécula de capsaicina y el mecanismo (idealizado) por el cual afecta a los receptores del gusto. Entonces puedo verificar que ha comprendido, por ejemplo, mirando su diagrama abstracto del mecanismo.

Sin embargo, esta no es toda la historia. Las matemáticas todavía podrían ser un producto de la evolución humana y la cultura. La aparente objetividad de las matemáticas podría estar limitada a nuestra especie. George Lakoff y Rafael E. Núñez escribieron un interesante y controvertido libro titulado Where Mathematics From From , de donde se afirma que las ideas matemáticas, lejos de ser abstractas, están arraigadas en la psicología y el comportamiento humano básico. Hasta que no encontremos una vida alienígena inteligente, no tendremos forma de probar la objetividad de los conceptos matemáticos.

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Answer 2

Las matemáticas son el estudio de la estructura. Como tal, los objetos que estudia son universales.

Las matemáticas como campo son únicas porque los objetos que estudia no son observaciones de la naturaleza ni son invenciones puramente creativas de la mente; así que hay una manera en que ellos, de hecho, se mantienen solos.

Por supuesto, muchos de los conceptos matemáticos, especialmente las técnicas, podrían haberse organizado de otras maneras. Pero los conceptos básicos de las matemáticas, por ejemplo los enteros, los números primos o los dígitos de pi, son tal como son y los matemáticos descubren más que inventar.

Cuanto más se mueve la ciencia a las ciencias de la vida, desde la física a la química, a la biología y la neurociencia, más los científicos desempeñan un papel activo en la “invención” de los modelos. Por ejemplo, la tabla periódica de los elementos es solo un hecho de la física; pero los diversos modelos de enlace químico son intentos de simplificar el trabajo de los científicos. Pero aún así, la naturaleza está ahí para ser observada, y eso constituye una limitación importante sobre qué modelos son posibles.

Por supuesto, la comprensión humana de las matemáticas es, sin duda, construcciones mentales. Todo lo que hacemos en la base 10, por ejemplo, es un artefacto de tener 10 dedos. También Leibniz y Newton propusieron diferentes formas de hacer cálculos, adoptadas por comunidades enteras de matemáticos. Y el enfoque de Leibniz fue aparentemente más flexible y desde entonces se ha convertido en el estándar, por lo que se podría argumentar que esta versión de cálculo era un “ajuste” mejor para el cerebro humano. Pero ambos enfoques para el cálculo tienen el mismo modelo central, porque el cálculo en su esencia es una auto-relación observada de ciertos tipos de estructura.

Answer 3

Todos los conceptos: matemático, lingüístico, neurocientífico, cualquiera que sea, son solo una forma de describir las relaciones entre un conjunto de divisiones “arbitrarias” de la realidad.
Nada “se sostiene por sí solo”. Todo se expresa en términos de relaciones percibidas subjetivamente entre las cosas. Nunca captamos la realidad objetivamente. Solo estamos dividiendo cada vez más el mundo en conceptos que se derivan de conceptos más antiguos, que a su vez se derivan de conceptos más antiguos, etc. Todos estos se basan y se originan en la forma e historia de nosotros mismos y de nuestros antepasados.
Simplemente dividimos el mundo en cosas y relaciones arbitrarias entre las cosas, patrones extrapolados desde nuestro propio punto de vista.
Gregory Bateson trabajó mucho en “la diferencia que marca la diferencia”.